The Discount Factor

4.1 Law of One Price and Existence of a Discount Factor

支付空间：

支付空间$\underline{X}$定义为投资者可以购买的全部支付的集合，或者是可以交易的全部支付的子集。在$S$维完全市场下，$\underline{X}=\mathcal{R}^S$；在不完全市场下，$\underline{X}$是$\mathcal{R}^S$的真子集。

(A1)（资产组合）$x_1,x_2\in \underline{X}\Rightarrow ax_1+bx_2\in \underline{X}\quad \forall a,b \in \mathcal{R}$

注意，收益率空间是支付空间的一个真子集，但收益率空间并不是一个线性空间。（收益率空间并不满足线性性。）

一价定律：

(A2)（一价定律，价格函数是线性的）$p(ax_1+bx_2)=ap(x_1)+bp(x_2)$

若等价格平面不是平面，必然可以构造资产组合，使直接购买与组合相同的支付的价格不同于自行构造组合的成本，存在套利。

定理：存在折现因子等同于一价定律成立

由折现因子存在，可知$p(ax_1+bx_2)=E[m(ax_1+bx_2)]=aE(mx_1)+bE(mx_2)=ap(x_1)+bp(x_2)$，一价定律成立。但是反过来，由一价定律成立证明折现因子存在，是比较复杂的。

定理：若资产组合A1成立，一价定律A2成立，那么存在一个特殊的支付$x^*\in\underline{X}$，使得$p(x)=E(x^*x)\quad \forall x\in\underline{X}$成立。


图 4.2

证明1的数学逻辑核心在于线性函数$p(x)$可以表示为内积$x^*\cdot x$。Riesz表现定理（Riesz representation theorem）将这一定理扩展到了无限维空间。

证明2：（代数证明）对于生成$\underline{X}$空间的$N$个支付组合，记为一个向量$x=[x_1,x_2\cdots x_N]$，那么整个支付空间$\underline{X}$有$\underline{X}=\{c'x\}$。如果折现因子存在并且在$\underline{X}$空间中，那这个折现因子$x^*$必定可以表示为$x^*=c'x$。对于折现因子，应当有$p=E(x^*x)=E(xx'c)$，因此$c=E(xx')^{-1}p$。若矩阵$E(xx')$是非奇异的（nonsingular，可逆），那么$c$就存在并且唯一。A2的成立意味着矩阵$E(xx')$是非奇异的（现在的$x$已经去除了多余的向量，各列线性无关，A2的成立确保了可以从$\underline{X}$中去除多余的向量而不影响定价函数），因此可得折现因子 $$ x^*=p'E(xx')^{-1}x \tag{4.1} $$ 从该式可以看出，$x^*$是$x$的线性组合，因此必在$\underline{X}$中。

定理意味着什么，不意味着什么：

定理说$\underline{X}$中存在唯一的$x^*$，反过来说，也许在$\underline{X}$之外也有折现因子$m$的存在。事实上，除非市场是完全的，否则会有无数的随机变量$m$满足于$p=E(mx)$。如果$p=E(mx)$，那么$\forall \varepsilon$满足$E(\varepsilon x)=0$（即$\varepsilon$与$x$正交），都有$p=E[(m+\varepsilon)x]$。上面的表述实际上定义了全体的折现因子$m$，即：任意折现因子均可表示为$m=x^*+\varepsilon$，其中$E(mx)=0$。
反过来，也可以定义：$x^*$是任意随机折现因子$m$在支付空间$\underline{X}$上的投影。换言之，使用任意折现因子$m$为支付空间$\underline{X}$定价，等同于使用$m$在支付空间$\underline{X}$上的投影来定价。这一投影（即$x^*$）称为$m$的模仿组合（mimicking portfolio）。从代数上来说，有 $$ p=E(mx)=E[(proj(m|\underline{X})+\varepsilon)x]=E[proj(m|\underline{X})x] $$
在上述证明过程中，我们允许构建任意组合，这对证明过程很重要。如果不能构建任意组合（市场存在摩擦），一价定律就不会成立。因此，一价定律并非是“无害的”，这是对偏好的弱假定——一价定律是正好能使偏好信息足以推断出折现因子存在的假定。

4.2 No Arbitrage and Positive Discount Factors

无套利是对边际效用的另一个稍强的假定，等价于假定存在正的折现因子。

定义（无套利）：

当支付空间$\underline{X}$中每个非负的支付$x$（$x\geq 0$几乎处处成立，且在某些正的概率下$x>0$）都有正的价格（$p(x)>0$）时，称为没有套利机会。

注意，“无套利”指的是不能免费获得具有正支付的资产组合。很多人用套利来代指违背一价定律的情况，即可以购买便宜的资产并以更高的价格出售，这同这里的“套利”概念是不同的。

该定义有一个等价的表述，即：在无套利的情况下，$\underline{X}$空间中的两个支付$x$和$y$，如果几乎处处有$x\geq y$，并且在某些正的概率下$x>y$（one payoff dominates another），那么有$p(x)>p(y)$。

$m>0$意味着无套利：

定理：$p=E(mx)$和$m(s)>0$意味着无套利。

证明：$m(s)>0$时，对于几乎处处大于或等于0，且在某些正的概率下大于0的支付$x$，当以正的概率$x>0$时$mx>0$，其他情况下$mx=0$，因此$E(mx)>0$。

无套利和一价定律意味着$m>0$：

从几何上看，一价定律意味着等价格支付在同一个平面上，并且不同等价格平面是平行的，无套利意味着第一象限的支付价格都大于0，并且第三象限的支付价格都小于0。这两条结合在一起，意味着价格为正的等价格平面不会经过第三象限、价格为负的等价格平面不会经过第一象限，从而价格为0的等价格平面应当穿过原点及二四象限，那么从原点向价格为正的等价格平面作垂线时，垂线的方向应当指向第一象限内。由于折现因子在$\underline{X}$中的投影就是这条垂线的放缩，因此折现因子大于零。

定理： 在完全市场，无套利和一价定律意味着存在唯一的$m>0$，并且有$p=E(mx)$。

证明：由一价定律，存在$x^*$使$p=E(x^*x)$，在完全市场的条件下这个折现因子是唯一的，$m=x^*$。假设在某些状态下$x^*<0$，那么构建一个在这些状态下支付为1、在其他状态下支付为0的支付。这个支付是非负的，但是其价格$\sum_{s:x^*(s)<0}\pi(s)x^*(s)<0$，与无套利假设矛盾。

定理： 无套利和一价定律意味着存在严格为正的折现因子，即存在$m>0$，使得$\forall x\in\underline{X}$，$p=E(mx)$成立。

证明：在$\mathcal{R}^{S+1}$空间中构建新的向量$(-p(x),x)$，将$(-p(x),x)$的集合记为$M$，即 $$ M={(-p(x),x);x\in\underline{X}} $$ 由于一价定律成立，$M$是一个线性空间，即$m_1\in M,m_2\in M\Rightarrow am_1+bm_2\in M$；一价定律同时意味着折现因子的存在，存在一个向量$(1,\hat{m})$使$(1,\hat{m})\cdot(-p(x),x)=0$，故$M$是一个超平面。无套利意味着集合$M$中不存在完全为正的元素（如果$x$为正，那么$-p(x)$一定为负），因此超平面$M$与$\mathcal{R}^{S+1}_+$仅交于原点，超平面$M$是凸集$\mathcal{R}^{S+1}_+$的支撑超平面。由此存在一个线性函数$F:\mathcal{R}^{S+1}\rightarrow\mathcal{R}$，$\forall (-p,x)\in M$，$F(-p,x)=0$；$\forall (-p,x)\in \mathcal{R}^{S+1}_+$且$(-p,x)$非原点，$F(-p,x)>0$。由于可以使用向量内积来表示线性函数，因此存在一个向量$(1,m)$使得$F(-p,x)=(1,m)\cdot(-p,x)=-p+m\cdot x$。又由于$\forall(-p,x)>0$，有$F(-p,x)=-p+m\cdot x>0$，故必须有$m>0$。

在比$\mathcal{R}^{S+1}$空间更大的空间中，特别是由连续取值的随机变量生成的空间中，超平面分离定理（separating hyperplane theorem）确保线性函数可以分割凸集$M$和正元素的集合；Riesz表现定理（Riesz representation theorem）确保线性函数$F$可以由向量内积表示，即$F(-p,x)=-p+m\cdot x$。

定理意味着什么，不意味着什么：

定理意味着折现因子$m>0$存在，但并不意味着$m>0$唯一。仅在完全市场下$m>0$是唯一的。如图4.5中的上图所示，支付空间$\underline{X}$为穿过二四象限的直线，在$x^*$处做垂直于支付空间$\underline{X}$的直线，直线上任意一点可表示为$x^*+\varepsilon$，并且$E(\varepsilon x)=0$，这条线上任意一点都可以作为折现因子，其中在第一象限的部分都有$m>0$。
定理意味着折现因子$m>0$存在，但并不意味着任意$m>0$。如图4.5中的上图所示，在$x^*$处垂直于支付空间$\underline{X}$的直线有在第四象限的部分，这部分中的折现因子都有$m<0$。
定理展示了将定价函数从支付空间$\underline{X}$延申到整个可能的支付集$\mathcal{R}^S$的一种方法，并且可以使得在更大的支付集上无套利。如图4.5中的下图所示，在$x^*$处做垂直于支付空间$\underline{X}$的直线，选择该直线在第一象限中的任意一点作为折现因子，该折现因子不仅可以为$\underline{X}$中的支付定价，还可以在支付空间外建立等价格平面（如图中的$p=1$直线，经过$\underline{X}$中价格为1的点，并且与$m$垂直），同时$m>0$又意味着无套利在支付空间外也是无套利的。
我们可以将正的折现因子视为或有权益的价格，如此一来该定理表明，在无套利的不完全市场中，价格和支付可以视作是由某些完全市场的或有权益生成的。
无套利是针对偏好和市场均衡的另一个非常弱的假定。
定理的成立并不要求状态空间必须是$\mathcal{R}^S$，该定理在连续随机变量构成的状态空间同样成立。


图 4.5

4.3 An Alternative Formula, and $x^*$ in Continuous Time

使用协方差矩阵的公式

式(4.1)中使用$E(xx')$作为的二阶矩矩阵，在连续时间下可以表示为协方差矩阵，公式为 $$ x^*=E(x^*)+[p-E(x^*)E(x)]'\Sigma^{-1}[x-E(x)] \tag{4.2} $$ 其中 $$ \Sigma=E([x-E(x)][x-E(x)]') $$ 要证明该公式，可以假设折现因子是支付冲击的线性函数即 $$ x^*=E(x^*)+(x-E(x))'b $$ 进而寻找使$p=E(xx^*)$成立的$b$的取值 $$ p=E(xx^*)=E(x^*)E(x)+E[x(x-E(x))']b $$ 其中 $$ E[x(x-E(x))']=E[(x-E(x))(x-E(x))']+E(x)E[x'-E(x)']=\Sigma $$ 故 $$ b=\Sigma^{-1}(p-E(x^*)E(x)) $$

当无风险利率在支付空间中时，$E(x^*)=1/R^f$。若无风险利率不在支付空间时，式(4.2)得到的折现因子并不一定在支付空间内。

相比于式(4.1)，式(4.2)在超额收益空间中更加实用。在超额收益空间，因为$p$恒为0，式(4.1)有$x^*=p'E(xx')^{-1}x=0$。这一结论并没有错误，因为在超额收益的支付空间$\underline{X}$内唯一能定价全部超额收益的折现因子就是0向量，但是在需要转换为收益-贝塔模型等需要将$E(x^*)$放在分母上时不可避免产生1/0的问题。将超额收益$R^e$带入式(4.2)，并选取任意的$R^f$，有 $$ x^*=\frac{1}{R^f}-\frac{1}{R^f}E(R^e)'\Sigma^{-1}[R^e-E(R^e)] $$ 其中$\Sigma=cov(R^e)$。

连续时间

连续时间下，假设股利被再投资，那么无套利和一价定律意味着在 $$ p_t\Lambda_t=E_t(\Lambda_{t+s}p_{t+s}) $$ 中，$\forall s$存在正的随机序列$\Lambda_{t+s}$，或者说$\forall t$存在正的随机过程$\{\Lambda_t\}$。

定义价格过程 $$ \frac{dp_t}{p_t}=\mu_tdt+\sigma_tdz_t $$ 其中$p$和$z$是$N\times1$维向量，$\mu_t$和$\sigma_t$随时间变化，$E(dz_tdz_t')=Idt$，等号左边的除法是元素对元素除法。

利用上面的定义的价格过程，使用期望和支付冲击的形式组合得到折现因子（隐去不重要的下标$t$） $$ \frac{d\Lambda^*}{\Lambda^*}=-r^fdt-(\mu+\frac{D}{p}-r^f)'\Sigma^{-1}\sigma dz \tag{4.3} $$ 其中$\Sigma=\sigma\sigma'$，是收益率的协方差矩阵。为了验证上述过程，可以将式(4.3)带入到下面两个方程中 $$ E_t(\frac{dp}{p})+\frac{D}{p}dt-r^fdt=-E_t(\frac{d\Lambda^*}{\Lambda^*}\frac{D}{p}) \tag{4.4} $$ 和 $$ E_t(\frac{d\Lambda^*}{\Lambda^*})=-r^fdt $$ 如果支付空间中存在无风险利率，无风险利率就是动态变化的$r^f_t$；如果支付空间中没有无风险利率，那么可以任意选择一个收益率作为$r^f_t$。同样，公式中的折现因子不是唯一的，$\Lambda^*$加上任意与$dz$正交的噪声都可以形成新的折现因子 $$ \frac{d\Lambda}{\Lambda}=\frac{d\Lambda^*}{\Lambda^*}+dw\quad E(dw)=0\quad E(dzdw)=0 $$

如果想反过来证明式(4.3)而不是直接检验它，可以假设$\frac{d\Lambda}{\Lambda}$服从扩散过程 $$ \frac{d\Lambda}{\Lambda}=\mu_\Lambda dt+\sigma_\Lambda dz $$ 并带入式(4.4)及无风险利率过程$E_t(\frac{d\Lambda^*}{\Lambda^*})=-r^fdt$，可以解出$\mu_\Lambda$和$\sigma_\Lambda$，从而得到式(4.3)。式(4.3)是定价因子中唯一仅由$dt$和$dw$驱动的扩散过程。

The Discount Factor

4.1 Law of One Price and Existence of a Discount Factor

4.2 No Arbitrage and Positive Discount Factors

4.3 An Alternative Formula, and \(x^*\) in Continuous Time