Contingent Claims Markets
3.1 Contingent Claims
或有权益是一种在未来状态\(s\)下支付1单位，而未来状态非\(s\)时不支付的证券。将这种证券的价格记为\(pc(s)\)。
在完全市场下，投资者可以购买任意一种或有权益。或有权益并不一定直接交易，完全市场下其他资产足够张成或者合成全部的或有权益。
当或有权益完全时，折现因子存在，并且折现因子等于或有权益的价格除以对应状态的概率。
记资产的支付为\(x\)，其在状态\(s\)下的支付为\(x(s)\)，则资产的价格应当为 $$ p(x)=\sum_spc(s)x(s) \tag{3.1} $$ 采用期望符号通常比采用求和号更简单，因此使用\(\pi(s)\)表示状态\(s\)的概率，将概率引入到式(3.1)中，有 $$ p(x)=\sum_s\pi(s)(\frac{pc(s)}{\pi(s)})x(s) $$ 因此可以定义 $$ m(s)=\frac{pc(s)}{\pi(s)} $$ 从而 $$ p(x)=\sum_s\pi(s)m(s)x(s)=E(mx) $$ 有时\(\pi(s)m(s)\)也被称为状态价格密度。
3.2 Risk-Neutral Probabilities
定义风险中性概率 $$ \pi^*(s)=R^fm(s)\pi(s)=R^fpc(s) $$ 其中有 $$ R_f=1/\sum pc(s)=1/E(m) $$ 由此，我们定义的\(\pi^*(s)\)大于0、小于等于1，并且和为1。因此\(\pi^*(s)\)也是一种概率密度。因此重写资产定价公式(3.1) $$ p(x)=\sum_s pc(s)x(s)=\frac{1}{R^f}\sum\pi^*(s)x(s)=\frac{E^*(x)}{R^f} $$ 因此资产定价过程也可以视为所有机构都是风险中性的，但是使用概率\(\pi^*\)取代真实的自然概率\(\pi\)。
\(\pi^*\)与真实的自然概率\(\pi\)相比，在边际效用高于平均边际效用的状态下，\(\pi^*\)的权重更高。在\(s\)状态下边际效用高于平均边际效用，即\(m(s)>E(m)\)，由于\(p(x)=\sum_s\pi(s)m(s)x(s)=\frac{1}{R^f}\sum_s\pi^*(s)x(s)=\sum_s\pi^*(s)E(m)x(s)\)，对比\(\sum_s\pi(s)m(s)x(s)\)和\(\sum_s\pi^*(s)E(m)x(s)\)，假设该支付为仅在状态\(a\)下支付的或有权益，显然若\(m(a)>E(m)\)，则必有\(\pi^*(a)>\pi(a)\)。
换个角度考虑上述情况：相比于客观概率，风险规避等价于更加关注令人不开心的状态。（若要使风险中性时的定价公式得到与风险规避时相同的结果，需要赋予边际效用更高的状态以更大的概率。）
风险中性概率和客观风险概率的转换公式为 $$ \pi^*(s)=\frac{m(s)}{E(m)}\pi(s) $$ 由此可以将折现因子视为主观概率对客观概率的导数或者变化率。
3.3 Investors Again
考虑一个两阶段模型，假设投资者在第一阶段持有\(y\)的初始财富，在第二阶段各个状态下的或有收入为\(y(s)\)，投资者可以在第一阶段购买或有权益，并在第二阶段的对应状态下获得对应的回报。（当然，投资者在第一阶段也可以卖空或有权益，这意味着在第二阶段的对应状态下，需要从或有收入中支付一部分用于偿还或有权益，这相当于将第二阶段的或有收入转化为第一阶段的收入。但要注意到，无论是将第一阶段的初始财富转化为第二阶段的或有收入，还是将第二阶段的或有收入转化为第一阶段的收入，都应当按照或有权益的价格\(pc(s)\)进行交易。）由此，投资者选择问题的数学模型为 $$ \max_{{c,c(s)}}u(c)+\sum_s\beta\pi(s)u[c(s)] $$ $$ s.t.\quad c+\sum_spc(s)c(s)=y+\sum_spc(s)y(s) $$ 记拉格朗日乘数为\(\lambda\)可得一阶条件为 $$ \begin{align*} u'(c)&=\lambda\\ \beta\pi(s)u'[c(s)]&=\lambda pc(s) \end{align*} $$ 从而可得 $$ pc(s)=\beta\pi(s)\frac{u'[c(s)]}{u'(c)} $$ 或者 $$ m(s)=\frac{pc(s)}{\pi(s)}=\beta\frac{u'[c(s)]}{u'(c)} $$
由上述结论可以得到 $$ \frac{m(s_1)}{m(s_2)}=\frac{u'[c(s_1)]}{u'[c(s_1)]} $$ 由此，可以说\(m\)是跨时期和跨状态的边际替代率。如图3.1所示，无论坐标轴是不同时间还是不同状态，图像都是如此。
注意，状态空间中的概率应当是投资者的主观概率，投资者是依据主观对概率的推测进行的决策。通常情况下，我们会假设投资者有理性预期，这意味着主观概率估计等于客观概率。但是应当注意到，在讨论概率估计的相关问题时我们并不总是如此假设。
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| 图 3.1 |
3.4 Risk Sharing
由前面的讨论，任何个人的边际替代率都应当等于或有权益的价格，同时由于价格对所有个人都相等，因此对任何投资者来说，边际效用的增长率应当相同，即对不同的投资者\(i\)和\(j\)来说，有 $$ \beta^i\frac{u'(c^i_{t+1})}{u'(c^i_t)}=\beta^j\frac{u'(c^j_{t+1})}{u'(c^j_t)} \tag{3.2} $$ 若两投资者的效用函数是齐序（homothetic）的，消费的增长应当是相同的，即 $$ \frac{c^i_{t+1}}{c^i_t}=\frac{c^j_{t+1}}{c^j_t} $$ 由此消费冲击对每个个人来说都是完全线性相关的，从而产生了风险共担。
注意：
- 以上结论并不是说，期望消费增长率对每个个人是相等的。这一结论只是说，从事后看消费增长是相同的。
- 以上结论并不代表消费水平是相同的，只是说明对于富人和穷人来说消费冲击是相同的。
这种风险共担是一种帕累托最优。假设社会计划者（social planner）以权重\(\lambda_i\)和\(\lambda_j\)优化投资者\(i\)和\(j\)的效用，记任意时期的社会总消费为\(c^a_t\)，对于社会计划者来说，问题是 $$ \max\lambda_iE\sum_t\beta^tu(c^i_t)+\lambda_jE\sum_t\beta^tu(c^j_t) $$ $$ s.t.\quad c^i_t+c^j_t=c^a_t $$ 从而一阶条件为 $$ \lambda_iu'(c^i_t)=\lambda_ju'(c^j_t) $$ 这与式(3.2)是相同的。
上述结论有一些深刻的结论。只有整体的冲击影响风险定价，任何特质性的收入风险都会被平等地分摊，任何特质性风险都不会影响折现因子。这些理念在非完全市场也同样适用。
3.5 State Diagram and Price Function
现在，将或有权益价格\(pc\)和资产的支付\(x\)作为\(\mathcal{R}^S\)空间中的向量，例如 $$ \begin{align*} pc&=[pc(1)\quad pc(2)\quad\cdots pc(S)]'\\ x&=[x(1)\quad x(2)\quad\cdots x(S)]' \end{align*} $$ 将\(\mathcal{R}^S\)空间绘制在图3.2中。
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| 图 3.2 |
图3.2的一些几何性质：
- 或有权益价格向量总是指向正的象限。由于\(m(s)=u'[c(s)]/u'(c)\)，边际收益总是大于零的，因此\(m(s)>0\)并且\(pc(s)=\pi(s)m(s)>0\)。
- 由式(3.1)有\(p(x)=\sum_spc(s)x(s)\)，可知资产的价格是或有权益价格向量\(pc\)与资产支付向量\(x\)的内积（inner product），\(p(x)=pc\cdot x\)。
- 价格为某一固定值的全部支付的集合在一个超平面（hyper plane）上，并且该超平面垂直（perpendicular）于或有权益的价格向量。在\(p(x)=a\)内任意向量\(v\)可以表示为\(v=x_1-x_2\)，其中\(x_1\)和\(x_2\)两点都在平面\(p(x)=a\)内，因此\(p(x_1)=a\)且\(p(x_2)=a\)，从而\(p(v)=pc\cdot v=\sum_spc(s)(x_1(s)-x_2(s))=p(x_1)-p(x_2)=0\)，因此\(p(x)=a\)平面垂直于或有权益的价格向量。
- 当两个从原点出发的向量相互垂直时，这两个向量正交（orthogonal），此时这两个向量内积为0。显然，价格为0的支付集合所在的平面，与或有权益价格向量正交。价格不为0的支付集合所在的平面，与或有权益价格向量垂直。
- 更一般地，内积可以视作是支付向量\(x\)在或有权益价格向量上的投影与或有权益价格向量模的乘积，即 $$ p(x)=pc\cdot x=|pc|\times|proj(x|pc)|=|pc|\times|x|\times cos(\theta) $$ 因为价格相等的支付所在平面与或有权益价格向量垂直，价格相等的支付在或有权益价格向量上的投影是相同的，因此内积与价格也就相等。当向量是有限维向量时，常用“\('\)”记号（prime notation）表示内积，即\(pc'x\)，但这一符号不能拓展到无限维空间。
- 恒定价格的平面线性移动，并且原点\(x=0\)的价格必须为0。若支付\(y=2x\)，必然有\(p(y)=\sum_spc(s)y(s)=\sum_spc(s)2x(s)=2p(x)\)。
- 可以将\(p(x)\)视为从状态空间或支付空间（\(\mathcal{R}^S\)）向实数线上的映射。由式(3.1)可知这是一个线性映射，即\(p(ax+by)=ap(x)+bp(y)\)。
- 图3.2中也有单个或有权益的价格向量，这些向量在坐标轴上、长度为1（如图中State 1 contingent claim）；平面\(p(x)=1\)是资产收益率所在的平面；平面\(p(x)=0\)是超额收益率所在的平面；无风险资产在图中(1,1)的位置；无风险收益率应当在45度线（即(1,1)的延长线）与平面\(p(x)=1\)相交处。
用\(m\)取代\(pc\)时的几何学：现在，使用\(m\)取代\(pc\)，不再将\(pc\)和\(x\)绘制在同一图像中，取而代之将\(m\)和\(x\)绘制在同一图像中，并尽可能保留前面讨论的几何性质。由此，需要定义随机变量的内积。定义任意随机变量\(x\)和\(y\)的内积为 $$ x\cdot y=E(xy) $$ 这样定义的内积保留了线性代数中内积的全部性质。类似的，将\(E(xy)=0\)称为随机变量\(x\)和\(y\)正交。应用在定价中时，\(x\)和\(y\)必须一个是折现因子，一个是支付，从而有\(p(x)=E(mx)=m\cdot x\)
随机变量\(x\)和\(y\)内积的定义和线性回归是相似的。例如在线性回归\(y=b'x+\varepsilon\)中，残差与自变量正交，\(E(x\varepsilon)=0\)，\(y\)在\(x\)上的投影定义为\(proj(y|x)=b'x=E(xx')^{-1}E(yx')x\)。
将上面的定义向无限维空间扩展。有限维和无限维的区别在于，向量是从\(\mathcal{R}^S\)域向\(\mathcal{R}\)域映射的函数，无限维随机变量则是从\(\Omega\)域向\(\mathcal{R}\)域映射的（可测）函数。该可测函数（无限维随机变量）是定义在\(\Omega\)域上的平方可积函数，全部平方可积函数构成的空间（记为\(L^2\)）是一个希尔伯特空间（完备的内积空间），即无限维随机变量属于完备的内积空间。因此上面的定义拓展到无限维时，内积\(x\cdot y\)仍然存在，并且其代数性质与有限维时相同，仍然可定义\(x\cdot y=E(xy)\)，有\(p(x)=E(mx)=m\cdot x\)。