Applying the Basic Model

2.1 Assumptions and Applicability

在使用$p=E(mx)$时，没有假设完全市场或者代表性消费者。$p=E(mx)$对任意消费者均成立，仅在需要简化模型、计算特殊情况或者对消费（边际效用$u'(c)$）进行加总的时候才需要假设完全市场或者代表性消费者。

在使用$p=E(mx)$时，没有假设支付或收益率的分布形式，也没有假设不同时间的收益分布是独立的。无论效用函数是怎样的形式、支付的分布是怎样的形式，均方前沿组合都携带了全部的定价信息。

在使用$p=E(mx)$时，没有假设模型是两阶段模型，没有假设效用函数的形式，甚至不要求效用函数是状态或时间可分割的。

在使用$p=E(mx)$时，没有假设投资者没有不可交易的人力资本或者外源收入。

在使用$p=E(mx)$时，没有假设市场是均衡的，甚至没有假设投资者是否愿意、能否购买该资产。在这种情况下，可以把$p=E(mx)$视作投资者对某一资产私人价值的定价公式。

在使用$p=E(mx)$时，确实假设了可以购买一小份或者边际量的资产。因此对于不可分割的投资项目来说，这一公式可能并不成立。另外，我们也没有考虑买卖价差和卖空限制，这些限制会使$p=E(mx)$变成一个不等式。

2.2 General Equilibrium

基础公式$p=E(mx)$告诉我们，在给定消费（边际效用、折现因子）和资产支付的联合分布时，资产的价格应当是多少。

当然，我们也可以把基础公式$p=E(mx)$改写为$u'(c_t)=E_t[\beta u'(c_{t+1})x_{t+1}/p_t]$，这个公式表示的是在给定资产的价格和支付时，今天的消费应当是多少。

从而，价格和消费到底哪一个是外生变量，哪一个是内生变量，这个问题本身并不重要，具体答案取决于所面对的问题。由此产生另外一个问题，什么是能够决定消费和价格的真正外生力量。这一问题的答案取决于经济的其他部分采用了怎样的假设，特别是生产或跨期传递的技术，以及对市场的假设。

恒久收入（permanent income）模型均衡（如图2.1所示）：生产函数是线性的，实物资产的回报率（跨期转换率）是恒定的，与投资了多少无关；消费必须依据回报率进行调整，通过调整不同时期消费的数量，使效用跨期的边际替代率等于回报率。这一模型指定了实物资产的投资回报过程，可以由此求出消费者的资产组合和消费规则。


图 2.1

禀赋经济（endowment economy）均衡（如图2.2所示）：每一时期的消费品是非耐用的（或者是由当期劳动所生产的），不可用于存储、投资或跨期转换；资产的价格必须依据消费者的禀赋进行调整，以确保消费者愿意完全消费各期禀赋（即资产价格均衡可以使各期消费等于各期禀赋，资产事实上是不能交易的）。这一模型中消费是外生的，资产的价格随消费的变化而调整。


图 2.2

更严谨、更加贴近真实的一般均衡模型（如图2.3所示）：消费者可以实现跨期资源配置，但是回报率是边际递减的，投资越多回报率越低。


图 2.3

从20世纪50年代开始到70年代的多数金融模型，采用线性技术的假设，将回报率视为恒定。而禀赋经济模型，于1978年由卢卡斯开始使用，通过固定消费、保持贴现因子恒定，大大简化了模型。

2.3 Consumption-Based Model in Practice

使用指数效用函数$u'(c)=c^{-\gamma}$，可得超额收益满足 $$ 0=E_t[\beta(\frac{c_{t+1}}{c_t})^{-\gamma}R^e_{t+1}] $$ 取无条件期望，对协方差进行分解，得 $$ E(R^e_{t+1})=-R^fcov[\beta(\frac{c_{t+1}}{c_t})^{-\gamma},R^e_{t+1}] $$

利用该模型对预测超额收益。对NYSE股票按照市值大小分成十个组合，取$\gamma=241$、$\beta=0.98$，采用一阶GMM估计，将预测得超额收益和实际超额收益分别作为横轴和纵轴，得到如图2.4所示得结果。如果模型预测精准，所有的点应当分布在45度线上。从结果看，模型的确是有效的，但是预测的准确程度并不高。


图 2.4

2.4 Alternative Asset Pricing Models: Overview

所有的资产定价模型都是在针对$m$进行建模。

采用不同的效用函数。这一研究方向认为是效用函数的假设形式存在问题，相比于考虑具体效用函数的形式，确定到底是哪些变量决定边际效用更为重要。
一般均衡模型。这一研究方向认为是消费决策过程的假设存在问题，一般均衡模型将消费均衡决策同其他变量（收入、投资等）相关联。同时，一般均衡模型试图对经济进行完全的建模，解释各种变量背后的逻辑，这是简单操纵投资者的一阶条件所不能实现的。
因子定价模型。这一研究方向认为是效用函数的假设形式存在问题，但致力于使用其他变量直接对边际效用进行建模。通常情况下，这类模型认为折现因子是一系列代理变量的线性函数，即 $$ m_{t+1}=a+b_Af^A_{t+1}+b_Bf^B_{t+1}+\cdots $$
套利或近套利（near-arbitrary）定价。边际效用大于0（$m\geq 0$）常被用来推断一种资产相对于另外一种资产的价格是否合理。