Consumption-Based Model and Overview

1.1 Basic Pricing Equation

在\(t\)时刻，预计\(t+1\)时的支付为\(x_{t+1}\)，有 $$ x_{t+1}=p_{t+1}+d_{t+1} $$ 其中\(p_{t+1}\)为\(t+1\)时的价格，\(d_{t+1}\)为\(t+1\)时的利息。

记\(t\)时刻消费为\(c_t\)，定义效用函数\(U(c_t,c_{t+1})\)，有 $$ U(c_t,c_{t+1})=u(c_t)+\beta u(c_{t+1}) $$ 其中\(\beta\)称为主观折现因子，对于未来效用的折现刻画了消费者的耐心。

记\(t\)时刻原始消费水平为\(e_t\)，那么基于消费的资产定价模型，就是解以下消费决策问题 $$ \max\limits_{{\xi}}{u(c_t)+E_t[\beta u(c_{t+1})]} $$

$$ s.t. \begin{cases} c_t&=e_t-p_t\xi \\ c_{t+1}&=e_{t+1}+x_{t+1}\xi \end{cases} $$ 一阶条件 $$ p_tu'(c_t)=E_t[\beta u'(c_{t+1})x_{t+1}] \tag{1.1} $$ 或者 $$ p_t=E_t[\beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} x_{t+1}] \tag{1.2} $$ 公式(1.1)是一个标准的最优化边际条件，\(p_tu'(c_t)\)是\(t\)时刻投资者购买1单位资产产生的边际效用损失，\(E_t[\beta u'(c_{t+1})x_{t+1}]\)是\(t\)时刻投资者预计这1单位资产在\(t+1\)时刻支付时，获得的边际效用折现值。

公式(1.2)是定价公式的核心，其展示了内生的价格如何被内生的消费和支付所决定。对于内生变量消费和价格的确定，将在未来再进行讨论。

1.2 Marginal Rate of Substitution/Stochastic Discount Factor

从(1.2)式出发，定义随机折现因子\(m_{t+1}\) $$ m_{t+1}=\beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \tag{1.3} $$ 公式(1.2)可表示为 $$ p_t=E_t(m_{t+1}x_{t+1}) \tag{1.4} $$ 并可继续简写为\(p=E(mx)\)，其中\(p\)总是产生于时刻\(t\)，支付总是产生于时刻\(t+1\)，条件期望是基于时刻\(t\)的信息。

当环境中不存在不确定性时，该式可以表示为标准的现值公式 $$ p_t=\frac{1}{R^f}x_{t+1} \tag{1.5} $$ 相比于无风险资产，更具风险的资产会有更低的价格，其折现使用风险调整后的折现因子 $$ p_t=\frac{1}{R^i}E_t(x^i_{t+1}) $$ 每种风险资产\(i\)必须使用该资产对应的风险调整后的折现因子\(1/R^i\)

公式(1.4)意味着，可以将所有的风险修正整合到单独的随机折现因子中，并且随机折现因子对任意资产都是相同的，将整合所得的随机折现因子代入公式(1.4)就可以得到资产的价格。

\(m_{t+1}\)之所以是随机的，是因为其在\(t\)时刻是不确定的。由于公式(1.3)，\(m_{t+1}\)也经常被称作边际替代率，其表示了投资者在愿意使用\(t+1\)时刻消费替代\(t\)时刻消费的意愿。在连续时间的积分公式下，\(m\)也被称为定价核。

1.3 Prices, Payoffs, and Notation

项目	价格 \(p_t\)	支付 \(x_{t+1}\)
股票	\(p_t\)	\(p_{t+1}+d_{t+1}\)
收益率	1	\(R_{t+1}\)
股息支付率	\(\frac{p_t}{d_t}\)	\((\frac{p_{t+1}}{d_{t+1}}+1)\frac{d_{t+1}}{d_t}\)
超额收益	0	\(R^e_{t+1}=R^a_{t+1}-R^b_{t+1}\)
受管理的组合	\(z_t\)	\(z_tR_{t+1}\)
矩条件	\(E(p_tz_t)\)	\(x_{t+1}z_t\)
单期债券	\(p_t\)	\(1\)
无风险利率	\(1\)	\(R^f\)
期权	\(C\)	\(max(S_T-K,0)\)

对于收益率，有 $$ 1=E(mR) $$ 收益率经常用于实证分析，主要因为其通常在统计上具有平稳性，通常没有趋势存在。

对于超额收益率，假设\(t\)时刻同时以1的价格做多和做空两种不同的资产，两种资产在\(t+1\)时刻收益的差即为超额收益率，超额收益率要求期初投资为0。

对于受管理的投资组合，在\(t\)时刻的期初投资为\(z_t\)，在\(t+1\)时刻的收益为\(z_tR_{t+1}\)。

在条件信息的情况下，将\(z_t\)视为一个工具，对于 $$ p_tz_t=E_t(m_{t+1}x_{t+1})z_t $$ 两侧同时取无条件期望，有 $$ E(p_tz_t)=E(m_{t+1}x_{t+1}z_t) $$ 上式可以视为在\(t+1\)时刻支付为\(x_{t+1}z_t\)的资产，其在\(t\)时刻的价格为\(E(p_tz_t)\)。

上面讨论的价格和收益率可以是名义的，也可以是实际的，\(p=E(mx)\)在两种情况下都成立。唯一的区别在于使用的折现因子是名义的还是实际的。若\(p\)和\(x\)都是名义的，有 $$ \frac{p_t}{\Pi_t}=E_t[(\beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)})\frac{x_{t+1}}{\Pi_{t+1}}] $$ 其中\(\Pi\)表示价格水平（CPI），显然这种表述等价于 $$ p_t=E_t[(\beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}\frac{\Pi_t}{\Pi_{t+1}})x_{t+1}] $$

1.4 Classic Issues in Finace

Risk-Free Rate

由\(1=E(mR)\)得\(1=E(mR^f)\)，有 $$ R^f=1/E(m) \tag{1.6} $$ 当无风险资产不存在时，可以定义\(R^f=1/E(m)\)作为“影子”无风险利率。

为了便于讨论实际无风险利率的性质，在不考虑不确定性的情况下，带入指数效用\(u'(c)=c^{-\gamma}\)，可得 $$ R^f=\frac{1}{\beta}(\frac{c_{t+1}}{c_t})^\gamma $$ 从而可得以下结论：

• 在消费者不耐心（即\(\beta\)更低）时，实际利率更高。
• 在消费增长率更高时，实际利率更高。
• 在指数参数\(\gamma\)更大时，实际利率对消费增长更敏感。指数参数\(\gamma\)更大意味着效用函数更加弯曲，消费者更希望各期消费水平尽可能平滑，在给定同样投资回报（无风险利率）的激励下，更加不愿意增加未来消费，因此必须使用更大的投资回报激励投资者调整消费。

在考虑不确定性的情况下，假设消费增长服从对数正态分布，记\(r^f_t=lnR^f_t\)，取\(\beta=e^{-\delta}\)，使用\(\Delta\)表示一阶差分，有 $$ \Delta lnc_{t+1}=lnc_{t+1}-lnc_t \thicksim N(E_t(\Delta lnc_{t+1}),\sigma^2_t(\Delta lnc_{t+1})) $$ 那么，从\(R^f_t=1/E_t[\beta (\frac{c_{t+1}}{c_t})^{-\gamma}]\)出发，两侧同时取对数有 $$ r^f_t=lnR^f_t=-ln(E_t[\beta (\frac{c_{t+1}}{c_t})^{-\gamma}])=-ln(e^{-\delta} E_t[e^{ln(\frac{c_{t+1}}{c_t})^{-\gamma}}]) $$ 其中\(E_t[e^{ln(\frac{c_{t+1}}{c_t})^{-\gamma}}]=E_t[e^{-\gamma \Delta lnc_{t+1}}]\)，且\(-\gamma \Delta lnc_{t+1} \thicksim N(-\gamma E_t(\Delta lnc_{t+1}),\gamma^2 \sigma^2_t(\Delta lnc_{t+1}))\)。

考虑到正态分布的性质：当\(z\)服从正态分布时，\(E(e^z)=e^{E(z)+\frac{1}{2}\sigma^2(z)}\)。可得 $$ E_t[e^{ln(\frac{c_{t+1}}{c_t})^{-\gamma}}]=e^{-\gamma E_t(\Delta lnc_{t+1})+\frac{1}{2}\gamma^2 \sigma^2_t(\Delta lnc_{t+1})} $$ 可得 $$ r^f_t=-lne^{-\delta} e^{-\gamma E_t(\Delta lnc_{t+1})+\frac{1}{2}\gamma^2 \sigma^2_t(\Delta lnc_{t+1})} $$ 从而 $$ r^f_t=\delta+\gamma E_t(\Delta lnc_{t+1})-\frac{1}{2}\gamma^2 \sigma^2_t(\Delta lnc_{t+1}) \tag{1.7} $$ 证毕。

从(1.7)式可以看出：

• 在消费者不耐心（即\(\delta\)更大）时，实际利率更高。
• 在指数参数\(\gamma\)更大时，实际利率对消费增长更敏感。
• 相比于无不确定性时，新出现的\(\sigma^2_t(\Delta lnc_{t+1})\)刻画了谨慎性储蓄，在消费波动率较大的时候，相比于被高消费所满足，消费者更担心出现低消费的情形，在利率相同的条件下消费者更加偏好购买无风险债券。

使用指数效用函数时，指数参数\(\gamma\)同时控制了跨期替代（规避随时间波动的消费流，因效用函数一阶导数不为零，不同时刻边际效用不同）、风险规避（规避同一时间、不同状态空间下波动的消费流，因效用函数二阶导数不为零，某时刻不同状态下均增加\(\Delta\)的支付，期望效用的改变与\(\Delta\)是非线性关系，因此消费者会通过配置无风险资产规避风险）和谨慎性储蓄（规避跨期消费的不确定性，因效用函数三阶导数不为零产生）。

Risk Corrections

从协方差的定义出发，有\(cov(m,x)=E(mx)-E(m)E(x)\)，带入\(p=E(mx)\)得 $$ p=E(m)E(x)+cov(m,x) \tag{1.8} $$ 将式(1.6)\(R^f=1/E(m)\)带入可得 $$ p=\frac{E(x)}{R^f}+cov(m,x) \tag{1.9} $$ 式(1.9)的第一部分是标准现值公式，这是资产在风险中性世界中的价格。风险中性世界意味着消费是恒定的，或者效用是线性的。第二部分是风险调整项。

为了更明确认识风险调整项，将\(m\)用消费表示，得到 $$ p=\frac{E(x)}{R^f}+\frac{cov(\beta u'(c_{t+1}),x_{t+1})}{u'(c_t)} \tag{1.10} $$ 当消费上升时，边际效用下降。因此，当资产的支付和消费水平正向相关时，资产的价格更低。

由上面的讨论，是支付和折现因子的协方差决定资产的风险，而不是支付自身的方差决定资产的风险。投资者关心自己的消费波动，倘若消费者的消费水平可以保持恒定，消费者不会关心持有资产的波动。假设投资者多购买了\(\xi\)单位资产，消费的方差为 $$ \sigma^2(c+\xi x)=\sigma^2(c)+2\xi cov(c,x)+\xi ^2\sigma^2(x) $$ 对于微小的\(\xi\)，协方差对消费方差的影响更为显著。

将\(x=R^i\)、\(p=1\)带入式(1.9)，可得对于一般的收益率\(R^i\)有 $$ E(R^i)-R^f=-R^fcov(m,R^i) \tag{1.12} $$ 由于\(R^f=1/E(m)\)有 $$ E(R^i)-R^f=-cov(\frac{m}{E(m)},R^i)=-cov(\frac{\frac{\beta u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}}{E_t(\frac{\beta u'(c_{t+1})}{u'(c_t)})},R^i_{t+1}) $$ 由于基于\(t\)时刻的信息\(c_t\)已经是确定的数值，因此有 $$ E(R^i)-R^f=-\frac{cov[u'(c_{t+1}),R^i_{t+1}]}{E_t[u'(c_{t+1})]} \tag{1.13} $$ 因此任意资产的期望收益可以由无风险利率加风险调整项得到，并且在资产收益率与消费水平正向相关时，持有资产会导致消费水平波动更加剧烈，从而只能使用更高的期望收益率来吸引投资者投资，这意味着风险调整项会更大。

Idiosyncratic Risk Does Not Affect Prices

若支付与折现因子无关，那么两者的协方差为0，不会产生风险修正项，因此该支付的收益率应当与无风险收益率相同。无论该支付的方差有多大，因为没有对消费的方差产生一阶效应，少量购买这样的资产不会影响消费。

由此出发，可以对任意支付进行投影分解，得到系统性风险部分和特质性风险部分，即 $$ x=proj(x|m)+\varepsilon $$ 其中，投影等价于不带常数项的线性回归，即 $$ proj(x|m)=\frac{E(mx)}{E(m^2)}m $$ 从而有 $$ p(\varepsilon)=E(m\varepsilon)=E[mx-\frac{E(mx)}{E(m^2)}m^2]=E(mx)-E(mx)=0 $$ 和 $$ p(proj(x|m))=E[\frac{E(mx)}{E(m^2)}m^2]=E(mx)=p(x) $$ 从而，特质性风险的价格为0，系统性风险的价格等于\(x\)的价格。

最后，多个资产分解得到的多个特质性风险之间可以是相关的，但是其中的任何一个都与折现因子无关。

Expected Return-Beta Representation

从式(1.12)出发，可以将期望收益率表示为 $$ E(R^i)=R^f-\frac{cov(m,R^i)}{E(m)}=R^f+(\frac{cov(R^i,m)}{Var(m)})(-\frac{Var(m)}{E(m)}) \tag{1.14} $$ 或者 $$ E(R^i)=R^f+\beta_{i,m}\lambda_m \tag{1.15} $$ 其中\(\beta _{i,m}\)是\(R^i\)对\(m\)线性回归的回归系数，这一模型被称作贝塔定价模型。所有资产的期望收益都应当与贝塔线性相关，而贝塔是收益率对折现因子\(m\)线性回归的回归系数。\(\lambda_m\)仅与\(m\)有关，对于任何资产\(i\)都相同；\(\beta _{i,m}\)则随风险资产的不同而变化。\(\lambda_m\)也被称为风险的价格，\(\beta _{i,m}\)被称为风险的数量。

Mean-Variance Frontier

从式(1.12)出发，将协方差改写为相关系数和标准差，可得 $$ E(R^i)-R^f=-\rho_{m,R^i}\frac{\sigma(m)}{E(m)}\sigma(R^i) \tag{1.18} $$ 由于\(-1\leqslant\rho_{m,R^i}\leqslant1\)，从而 $$ |E(R^i)-R^f|\leqslant\frac{\sigma(m)}{E(m)}\sigma(R^i) \tag{1.17} $$

从式(1.17)可得以下性质

• 资产均值和方差必须落在图 1.1中边界内，这一边界称为均值-方差前沿。
• 所有在前沿上的收益率与折现因子完全线性相关，前沿正是在\(|\rho_{m,R^i}|=1\)时形成的。
• 换个角度，均方前沿上的点并不一定要从线性相关才能得到。例如，考虑支付\(m/E(m^2)\)，其价格为\(p(m/E(m^2))=E(m^2)/E(m^2)=1\)，故该支付是一个收益率，它就在前沿之上。因此，如果我们得到了\(m\)，就可以构建均方前沿上的收益率。
• 由于均方前沿上的点均与折现因子完全线性相关，因此各个点相互之间完全线性相关。这意味着我们可以使用均方前沿上任意两个点张成（span）或者合成（synthesize）任意均方前沿上的点。例如，如果得到了均方前沿上的点\(R^m\)，那么任意均方前沿上的点\(R^{mv}\)都可以表示为 $$ R^{mv}=R^f+a(R^m-R^f) $$
• 由于均方前沿上的各点与折现因子完全线性相关，因此可选择适当的系数，使得 $$ m=a+bR^{mv} $$ $$ R^{mv}=c+dm $$ 从而任意均方有效收益率携带了全部的定价信息。给定任意均方有效收益率\(R^{mv}\)和无风险利率\(R^f\)，可以解出折现因子，反之亦然。
• 期望收益可以借助于任意均方有效收益率使用单贝塔形式表述。由 $$ \begin{cases} E(R^i)-R^f&=-\rho_{m,R^i}\frac{\sigma_m}{E(m)}\sigma_{R^i}\\ E(R^{mv})-R^f&=\frac{\sigma_m}{E(m)}\sigma_{R^{mv}} \end{cases} $$ 可得 $$ E(R^i)-R^f=[E(R^{mv})-R^f](-\rho_{m,R^i}\frac{\sigma_{R^i}}{\sigma_{R^{mv}}}) $$ 此即 $$ E(R^i)=R^f+\beta_{i,mv}[E(R^{mv})-R^f] $$ 由此，倘若绘制平均收益和贝塔得图像，应当得到一条直线。由于对\(R^{mv}\)来说，\(\beta_{mv,mv}\)应当等于1，因此风险因子溢价\(\lambda=[E(R^{mv})-R^f]\)。
• 如图1.1所示，任意收益率\(R^i\)可以表示为系统性风险或被定价的部分，加上特质性风险或残余的部分。被定价的部分即在均方前沿上的部分，与折现因子完全线性相关。

图 1.1

Slope of the Mean-Standard Deviation Frontier and Equity Premium Puzzle

对于均方前沿上的点\(R^{mv}\)，代入式(1.18)，有 $$ |E(R^{mv})-R^f|=\frac{\sigma(m)}{E(m)}\sigma(R^{mv}) $$ 从而可得 $$ |\frac{E(R^{mv})-R^f}{\sigma(R^{mv})}|=\frac{\sigma(m)}{E(m)}=\sigma(m)R^f $$ 因此均方前沿的斜率受折现因子的波动率影响。

考虑指数效用的特例，\(u'(c)=c^{-\gamma}\)，有 $$ |\frac{E(R^{mv})-R^f}{\sigma(R^{mv})}|=\frac{\sigma[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]}{E[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]} \tag{1.19} $$ 为进一步简化，假设消费增长服从对数正态分布，即 $$ ln(c_{t+1}/c_t)=\Delta lnc_{t+1}\thicksim N(E(\Delta lnc_{t+1}),\sigma^2(\Delta lnc_{t+1})) $$ 由于\((c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}=e^{-\gamma ln(c_{t+1}/c_t)}\)且当\(z\)服从正态分布时，\(E(e^z)=e^{E(z)+\frac{1}{2}\sigma^2(z)}\)，可得 $$ E[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]=e^{-\gamma E(\Delta lnc_{t+1})+\frac{1}{2}\gamma^2\sigma^2(\Delta lnc_{t+1})} $$ $$ E[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]^2=e^{-2\gamma E(\Delta lnc_{t+1})+\gamma^2\sigma^2(\Delta lnc_{t+1})} $$ $$ E[(c_{t+1}/c_t)^{-2\gamma}]=e^{-2\gamma E(\Delta lnc_{t+1})+2\gamma^2\sigma^2(\Delta lnc_{t+1})} $$ 由\(Var(x)=E(x^2)-E(x)^2\)，带入式(1.19)右侧有 $$ \frac{\sigma[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]}{E[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]}=\sqrt{\frac{\sigma^2[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]}{E[(c_{t+1}/c_t)^{-\gamma}]^2}}=\sqrt{e^{\gamma^2\sigma^2(\Delta lnc_{t+1})}-1} $$ 由于\(\sqrt{e^{2x}-1}\approx x\)，故式(1.19)有 $$ |\frac{E(R^{mv})-R^f}{\sigma(R^{mv})}|=\sqrt{e^{\gamma^2\sigma^2(\Delta lnc_{t+1})}-1}\approx \gamma\sigma(\Delta lnc) \tag{1.20} $$

从式(1.20)可以看出，在经济更具风险时——或者消费增长的波动性增加，或者投资者更加风险规避——均方前沿的斜率更加陡峭。

现在开始讨论股票溢价之谜。考虑美国经济的实际数据，过去50年内股票收益率平均为9%，收益标准差为16%，国债收益率约为1%，因此股市夏普比率约为0.5。全国整体非耐用品和服务消费增长平均值和标准差都是约1%，若式(1.20)成立，消费者的风险厌恶系数\(\gamma\)达到了50。

为了更贴近实际情况，要考虑的其他因素只会恶化这一状况。式(1.20)假定市场运行在有效前沿上，即消费增长（折现因子）与股市收益完全线性相关，但实际上市场并不完全，消费增长和股市收益的相关系数只有约0.2，这样一来消费者的风险厌恶系数达到了250。另外，还要考虑到个人消费流的风险是高于整体消费的波动的，个人消费增长同股市收益的相关系数只会更低，风险厌恶系数会更高。

想要解释这一现象，只有三种可能：

1. 消费者比想象中更加厌恶风险；
2. 过去50年中的股票高收益只是源于好运气，而不是均衡的风险补偿；
3. 模型内的某些假设彻底错了，例如效用函数和整体消费数据的使用。

Random Walk and Time-Varying Expected Return

对于式(1.1)，将股利显示得表示在公式中，有 $$ p_tu'(c_t)=E_t[\beta u'(c_{t+1})(x_{t+1}+d_{t+1})] \tag{1.21} $$ 如果投资者是风险中性的，即\(u(c)\)是线性函数或者消费水平没有变化，并且股票在时间\(t\)到\(t+1\)内不支付股利，在极短的时间内\(\beta\)接近于1，因此有 $$ p_t=E_t(p_{t+1}) $$ 等价地，可以说股票价格服从以下随机序列 $$ p_{t+1}=p_t+\varepsilon_{t+1} $$ 当方差\(\sigma^2(\varepsilon_{t+1})\)恒定时，价格过程服从随机游走（或者说是一个鞅过程）。

随机游走的假设在日度的尺度上相当成功，但是近些年越来越多的证据表明，超额收益在长期是可以预测的。

从式(1.12)有 $$ \begin{align*} E_t(R_{t+1})-R^f_t&=-\frac{cov_t(m_{t+1},R_{t+1})}{E_t(m_{t+1})}\\ &=-\frac{\sigma_t(m_{t+1})}{E_t(m_{t+1})}\sigma_t(R_{t+1})\rho_t(m_{t+1},R_{t+1}) \end{align*} $$ 由式(1.19)和(1.20)可知，在使用指数效用\(u'(c)=c^{-\gamma}\)且假设消费增长服从对数正态分布时，有 $$ \frac{\sigma(m)}{E(m)}\approx\gamma\sigma(\Delta lnc) $$ 从而带入上式可得 $$ E_t(R_{t+1})-R^f_t\approx\gamma_t\sigma_t(\Delta c_{t+1})\sigma_t(R_{t+1})\rho_t(m_{t+1},R_{t+1}) \tag{1.22} $$

由式(1.22)，期望收益在一定程度上是可以预测的。其中，\(\sigma_t(R_{t+1})\)部分的预测比较困难，\(\rho_t(m_{t+1},R_{t+1})\)的机制探究也是相对困难的，但是\(\gamma_t\)与\(\sigma_t(\Delta c_{t+1})\)可以用于超额收益的预测。这两项虽然在日度的尺度上不随时间变化，但在经济周期的尺度上是可以预测的。

Present-Value Statement

现在考虑多期的情况，假设有多期效用函数 $$ E_t\sum^\infty_{j=0}\beta^ju(c_{t+j}) $$ 投资者以\(p_t\)的价格购买现金流\({d_{t+j}}\)，一阶条件有 $$ p_t=E_t\sum^\infty_{j=1}\beta^j\frac{u'(c_{t+j})}{u'(c_t)}d_{t+j}=E_t\sum^\infty_{j=1}m_{t,t+j}d_{t+j} \tag{1.23} $$

从式(1.23)考虑只有两期时的特例 $$ p_t=E_t[m_{t+1}(p_{t+1}+d_{t+1})] \tag{1.24} $$ 从式(1.23)取特例可以直接得到式(1.24)，但倘若想从式(1.24)递归地得到式(1.23)，会发现除式(1.23)中所有的项外还有一个额外的\(\lim_{j\to\infty}E_t[m_{t,t+j}p_{t+j}]\)，定义“横截条件”（transversality condition）为\(\lim_{j\to\infty}E_t[m_{t,t+j}p_{t+j}]=0\)，这是无限期情况下的特殊一阶条件。

由式(1.23)可以写出无限期下的风险调整定价公式 $$ p_t=\sum^\infty_{j=1}\frac{E_td_{t+j}}{R^f_{t,t+j}}+\sum^\infty_{j=1}cov_t(d_{t+j},m_{t,t+j}) $$ 其中\(R^f_{t,t+j}=E_t(m_{t,t+j})^{-1}\)是第\(j\)期的利率。

1.5 Discount Factors in Continuous Time

记连续时间的投资收益率为 $$ \frac{dp_t}{p_t}+\frac{D_t}{p_t}dt $$ 对其中价格的部分，假定期服从扩散过程 $$ \frac{dp_t}{p_t}=\mu(\cdot)dt+\sigma(\cdot)dz $$ 其中\(dz\)表示布朗运动，有\(dz\thicksim N(0,dt)\)。

对于无风险资产，可以将其视为价格恒定为1、以无风险利率为股利支付的资产，即 $$ p=1\qquad D_t=r^f_t \tag{1.25} $$ 或者也可将其视为不支付股利、但是价格以利率增长的资产，即 $$ \frac{dp_t}{p_t}=r^f_tdt \tag{1.26} $$

定义效用函数 $$ U({c_t})=E\int^\infty_{t=0}e^{-\delta t}u(c_t)dt $$ 可得一阶条件 $$ p_tu'(c_t)=E_t\int^\infty_{s=0}e^{-\delta s}u'(c_{t+s})D_{t+s}ds \tag{1.27} $$ 该式经济学意义是，现在购买1单位资产产生的边际效用损失，等于该资产未来产生的全部边际效用的和，该式实际上就是连续时间下的 $$ p_t=E_t\sum^\infty_{j=1}\beta^j\frac{u'(c_{t+j})}{u'(c_t)}D_{t+j} $$

由于在连续时间下\(\Delta \to 0\)时\(u'(c_{t+\Delta})/u'(c_t)\)没有严谨定义，因此不将\(u'(c_t)\)移入积分号，而是保持其边际效用的形式，定义连续时间下的折现因子 $$ \Lambda_t=e^{-\delta t}u'(c_t) $$ 有 $$ p_t\Lambda_t=E_t\int^\infty_{s=0}\Lambda_{t+s}D_{t+s}ds \tag{1.28} $$

将式(1.28)中右侧积分符号在\(\Delta\)处分成两段，有 $$ p_t\Lambda_t=E_t\int^\Delta_{s=0}\Lambda_{t+s}D_{t+s}ds+E_t\int^\infty_{s=\Delta}\Lambda_{t+s}D_{t+s}ds $$ 注意到 $$ E_t\int^\infty_{s=\Delta}\Lambda_{t+s}D_{t+s}ds=E_t[E_{t+\Delta}\int^\infty_{s=0}\Lambda_{t+\Delta+s}D_{t+\Delta+s}ds]=E_t[p_{t+\Delta}\Lambda_{t+\Delta}] $$ 当\(\Delta\)很小时，有 $$ p_t\Lambda_t\approx\Lambda_tD_t\Delta+E_t[p_{t+\Delta}\Lambda_{t+\Delta}] $$ 从而 $$ 0\approx\Lambda_tD_t\Delta+E_t[p_{t+\Delta}\Lambda_{t+\Delta}-p_t\Lambda_t] $$ 使\(\Delta \to 0\)可得 $$ 0=\Lambda_tD_tdt+E_t[d(\Lambda_tp_t)] \tag{1.29} $$ 式(1.29)是连续时间下的\(p=E(mx)\)。

在不支付股利且\(\Lambda\)恒定（风险中性）时，\(0=E_t(dp_t)=E_t(p_{t+\Delta}-p_t)\)，价格成为一个鞅过程。

现在，尝试依据价格和折现因子各自的随机过程将\(d(\Lambda_tp_t)\)分开，使用伊藤引理，有 $$ d(\Lambda p)=pd\Lambda+\Lambda dp+dpd\Lambda \tag{1.32} $$ 将式(1.32)带入式(1.29)，可得 $$ 0=\Lambda Ddt+E_t[pd\Lambda+\Lambda dp+dpd\Lambda] $$ 两侧同时除以\(p\Lambda\)可得 $$ 0=\frac{D}{p}dt+E_t[\frac{d\Lambda}{\Lambda}+\frac{dp}{p}+\frac{d\Lambda}{\Lambda}\frac{dp}{p}] \tag{1.33} $$

将无风险资产——即式(1.25)或式(1.26)——作为特例带入式(1.33)，可得 $$ r^f_tdt=-E_t(\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}) \tag{1.34} $$ 显然该式就是连续时间下的\(R^f_t=\frac{1}{E_t(m_{t+1})}\)。

重新排列式(1.33)，可得 $$ E_t(\frac{dp_t}{p_t})+\frac{D_t}{p_t}dt=-E_t[\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}]-E_t[\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}\frac{dp_t}{p_t}]=r^f_tdt-E_t[\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}\frac{dp_t}{p_t}] \tag{1.35} $$ 该式是连续时间下的 $$ E(R^i)=R^f-R^fcov(m,R^i) $$ （备注：在\(cov_t(\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}, \frac{dp_t}{p_t}+\frac{D_t}{p_t}dt)\)中，\(E_t(\frac{dp_t}{p_t}+\frac{D_t}{p_t}dt)=(\cdot)dt\)且\(E_t(\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t})=(\cdot)dt\)，故\(cov_t(\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}, \frac{dp_t}{p_t}+\frac{D_t}{p_t}dt)=E_t[\frac{d\Lambda_t}{\Lambda_t}\frac{dp_t}{p_t}]\)，并且在时间间隔趋于0时\(R^f_t\to1\)）